DESCUENTO

DESCUENTO 

La operación financiera de descuento es la inversa a la operación de capitalización. 

Con esta operación se calcula el capital equivalente en un momento anterior de un importe futuro.

Mientras que la ley de capitalización calcula unos intereses que se les añade al importe principal, compensando el aplazamiento en el tiempo de su disposición. 

En las leyes de descuento es justo al contrario: se calculan los intereses que hay que pagar por adelantar la disposición del capital.

Dentro de las leyes de descuento, se pueden distinguir tres modelos:

Descuento comercial, Descuento racional, Descuento económico

DESCUENTO COMERCIAL

El descuento comercial o bancario, es :

• La disminución que se hace a una cantidad por pagarse (préstamo) antes de su vencimiento. 
• También es utilizado al cobrar los intereses por anticipado

D = Mnd

D = cantidad descontada
d = tasa de descuento
n = tiempo pactado del préstamo
M= Monto o valor final del documento, es la cantidad solicitada en el préstamo


Ejemplo:
¿Cuál es el descuento que hace Banejército en el momento de contratar un préstamo de $160,000.00 para pagarlo con un plazo de 12 meses, con una tasa de descuento simple de 24% anual?

Datos:
M= $160,000     n= 12 meses = 1 año    d= 24% simple anual 

Fórmula: D=Mnd

Solución:
D= 160,000 (1) (0.24)
D= $38,400

VALOR DESCONTADO

Es la cantidad de dinero que recibe el solicitante del préstamo después de haber descontado de manera anticipada los intereses del monto, también se le conoce como valor efectivo

C = M - D

C= cantidad recibida, valor efectivo, valor descontado
D = cantidad descontada
M= Monto o valor final del documento, es la cantidad solicitada en el préstamo

Ejemplo: 

El señor González solicita un préstamo de $150,000.00 con un plazo de tres meses y una tasa de descuento de 2.2% mensual
a) ¿De cuánto es el descuento en el momento de recibir el préstamo?
b) ¿Que cantidad recibe en realidad el señor González?

a) Datos: M=150,000 n= 3 meses  d= 2.2% mensual 

Fórmula: D=Mnd

Solución: 
D= 150,000(3)(0.022)= $9,900

b) Datos: M=150,000      D= 9,900

Fórmula: C = M - D =150,000 - 9,900 = $140,100

    TASA DE RENDIMIENTO

El deudor al pagar por adelantado los intereses de un  préstamo, en realidad está pagando más intereses de lo pactado. A esta tasa se le conoce como tasa de rendimiento (R)

R= (M-C) /Cn


Ejemplo:

Un banco aplica un descuento de $24,600 al señor López por un préstamo a pagar en 4 meses, con una tasa de descuento de 28% anual. ¿Cuál es la tasa de rendimiento?

Datos:
D= 24,600   n= 4 meses  d=28% anual

Fórmula:  R= (M-C) /Cn

Se necesita el Monto (M) y el Valor Descontado (C) 

Sabemos que  D = Mnd

Despejando M

                      M= D/nd

                      M= 24,600/ (4 meses/12 meses) (0.28) 

                      M= $263,571.43

Para el Valor Descontado (C)   

Sabemos que C = M - D

                      C =  263,571.43 - 24,600

                      C = $238,971.43

Finalmente  R= (M-C) /Cn

                    R = (263,571.43 - 238,971.43) / (238,971.43 x 4meses)

                    R  = 0.0257 mensual 

                    R  = 0.0257 x 12 =30.09%  anual     

                 

RELACIÓN ENTRE LA TASA DE DESCUENTO Y LA TASA DE RENDIMIENTO

R= d / (1-dn)

Ejemplo: Encontrar la tasa de rendimiento de un préstamo a pagar en 12 meses con una tasa de descuento del 26% anual

Datos:  R =?  n= 12 meses= 1 año  d= 26% anual 

Fórmula: R= d / (1-dn)

Solución: 

R= 0.26 / (1- 0.26 x 1 año) = 0.3514 = 35.14%

EJERCICIOS DE CLASE

Intente resolver con Excel y/o su calculadora

1. Una compañía solicita $23,000,000 de préstamo al banco de Sonora, a dos años con una tasa de descuento del 18% anual

a) Calcular el descuento

b) ¿Qué cantidad recibe la compañía?

2. El arquitecto Herrera recibe un descuento de 17,400 por un préstamo de cuatro meses con una tasa de descuento del 39% anual. ¿Cuál es la tasa de rendimiento mensual y anual?

3. Calcula la tasa de rendimiento mensual y anual , si el valor descontado a los 6 meses es de $25,894 y el monto de $35,000?

4. Encontrar la tasa de rendimiento de un préstamo a pagar en seis meses, con una tasa de descuento de 19% anual

5. A qué precio se vende un libro si se ofrece un 30% de descuento sobre el precio de lista de $739.50, si se condiciona que el pago sea en efectivo

Soluciones:

1. 8,280,000   14,720,000  

2. 3.74% mensual, 44.83% anual

3. 5.86% mensual 70.33% anual

4. 20.99% anual

5. C= $517.65

http://ciberconta.unizar.es/ifinanzas/01-finanzas.htm

INTERÉS SIMPLE

El interés simple se refiere a los intereses que produce un capital inicial en un período de tiempo, el cual no se acumula al capital para producir los intereses del siguiente período

•Tasa de Interés: Es la tasa que se aplica en una operación comercial, la cual determina el interés a pagar, se expresa en tanto por ciento (%) y generalmente la tasa de interés se da por año.

•Tiempo: Es el intervalo durante el cual tiene lugar la operación financiera en estudio

•Periodo: Es el intervalo de tiempo en el que se liquida la tasa de interés (año, semestre, trimestre, bimestre, mes, quincena, semana, diario, etc.).

•Capital: Es el dinero que se presta, comúnmente se le denomina valor presente.

•Monto: Es el capital formado por el capital actual más los intereses devengados en el periodo, comúnmente se le denomina valor futuro.

•Año natural o calendario: Tiene 365 días o 366 días si es bisiesto

•Año comercial: Tiene 360 días suponiendo que cada mes tiene 30

Ejemplos de tiempo

1. Calcule el plazo de una transacción realizada el 4 de abril y con vencimiento el 19 de mayo del mismo año.

•19 – 4 = 15 días de mayo

•Días de abril = 30

•Entonces: 15 + 30 = 45 días.

  Conclusión: El plazo de la transacción es de 45 días.

2. Calcule los días transcurridos entre el 3 de septiembre de 2016 y del 15 de abril de 2017.

•15 – 3 = 12 días de abril

•Días de Septiembre a Abril son 
30(septiembre)+31(octubre)+30(noviembre)+31(diciembre)+31(enero)+28(febrero)+
              31 marzo= 212

•entonces sumamos  212 + 12 = 224 días.

  Conclusión: El plazo de la transacción es de 224 días.

Ejercicios de práctica
1. Calcule los días transcurridos desde el 7 de enero al 6 de junio de 2017

2. Calcule los días transcurridos desde el 20 de diciembre 2016 al 28 de febrero 2017 

Ejercicios de Clase

Nota: Todas los ejercicios  deberán contar con el desglose de datos, fórmula y resultado

1. Hace 10 meses Paola, deposito $75,000 en una cuenta bancaria. Si hoy retiró el dinero y le entregaron $82,500, identifique el capital y el monto y calcule el interés pagado.
Datos                         Fórmula                        Resultado

2. Suponga que usted, recibió un préstamo y al final de 4 meses debe pagar un monto de $19,600. Si el interés fue de $1,200, que capital le prestaron?

Datos                         Fórmula                        Resultado

3. En cierto banco, la tasa de interés aplicable a los préstamos personales es igual a la TIIE vigente en el momento  en que efectúa el préstamo más 14 puntos porcentuales. Si la TIIE es de 9.78% anual, cuál es la tasa de interés aplicable?

Datos                         Fórmula                        Resultado

4. Calcule el interés simple que produce un capital de $5,000 en 10 meses al 2.5% bimestral.

Datos                         Fórmula                        Resultado

5.  Calcule el interés simple de $13,500 al 4.25% trimestral durante un año y tres meses

Datos                         Fórmula                        Resultado

6. Obtenga el valor futuro de $10,000 al 1.61% quincenal en 11 meses

Datos                         Fórmula                        Resultado

7. Alfonso consigue un préstamo por $75,000 a un año y medio de plazo y una tasa de interés simple de 2.97% mensual. Cuánto pagará al final del plazo por el préstamo requerido.

Datos                         Fórmula                        Resultado

8. Si se solicita un  préstamo por $7,000 al 19.92% semestral de interés simple, cuánto deberá pagar por concepto de intereses al  término de 15 meses ? Cuál es el valor del monto?

Datos                         Fórmula                        Resultado

9. Rubén compra a crédito una estufa que tiene un  precio de contado de $4,765. Queda de acuerdo dar un enganche de 15% y un pago final 2 meses más tarde. Si se acepta pagar una tasa de interés de 48% sobre el saldo, cuánto deberá pagar dentro de 2 meses?

Datos                         Fórmula                        Resultado

monto = 4765              M= C ( 1+in)               4050(1+.48*2/12)= 4374.27
pendiente = C= 4050.25
n= 2 meses

10. Una persona obtiene $3,000 cada trimestre por concepto de intereses de una inversión al 10%.  qué capital tiene invertido esa persona?

Datos                         Fórmula                        Resultado

I= 3000                       I= Cin
n= 3 meses                  C= I / (in)                     3000 / (.10*3/12)= 120,000
i=10% anual
C = ?

11. El interés ganado por un préstamo de 800 dólares, en un plazo de 5 meses, fue de 20 dólares. Calcule la tasa de interés anual? 

Datos                         Fórmula                        Resultado

C=800                        I = Cin
n= 5 meses                i= I / (Cn)                     20/(800*5/12)= 0.06=6% anual
I= 20 
i= ?

12. Un capital invertido a interés simple se triplicó al cabo de 8 años. ¿Qué tasa de interés simple ganó?

Datos                         Fórmula                        Resultado

C                                  M= C(1+in)                        2= in
M= 3C                         3C= C (1+in)                      2/n = i
n= 8 años                     3C/C= (1+in)                      2/8= i
i= ?                                3= 1+in                               0.25 = i
                                     3-1= in                                  i= 25%
13. Irma compró acciones de una empresa productora de latas de aluminio para envasar diferentes tipos de bebidas por $70,000 dólares y, después de 8 meses, el valor de sus acciones se incrementó $15,000. Además le pagaron dividendos (intereses),por un total de $22,000,. Calcule la tasa de interés simple que ganó su inversión.

Datos                                        Fórmula                        Resultado

C= 70,000                                  M= C(1+in)                  (85000/70000-1)/8=i
n= 8                                            M/C -1 =in                   i= 0.0268= 2.68% mensual
M= 70,000+ 15,000=85,000      (M/C-1)/n=i
I= 22,000
i= =?

14. Ana posee un capital de $20,000. Invierte 75% del dinero al 2% trimestral y el resto al 3.5% semestral. Cuánto dinero recibe de intereses cada mes?

Datos                                                       Fórmula                        Resultado

C= 20,000                                                 M= C(1+in)   
C75%=15,000 al 2% trimestral             M1= 15,000(1+0.02/3* 1)  M1=  15,100
C25%=5,000 al 3.5% semestral            M2= 5,000(1+0.035/6*1)    M2= 5,029.17
                                                                  I= M-C                                  100+29.17= 129.17 

15. Una empresa contrató un crédito por $1,000,000 a pagar dentro de un año. Si el monto fue de $1,170,000. Cuál fue la tasa de interés anual?

Datos                         Fórmula                        Resultado

C= 1,000,000             M= C(1+in)
M= 1,170,000             i= (M/C -1)/n               (1,170,000/1,000,000 -1)/1
n= 1 año                                                              i= 0.17=17%
i=?

16. Siete mil pesos prestados al 4.45% mensual generaron un interés de $2,492. Calcule el plazo

Datos                         Fórmula                        Resultado

C= 7000                      I= Cin 
i= 4.45% mensual      n= I/(Ci)                       2,492/(7,000*0.0445)= 8 meses 
I= 2,492
n= ?
17. Si la tasa de interés simple en una cuenta de ahorros es de 3.4% anual, en cuánto tiempo se duplica un capital?

Datos                             Fórmula                        Resultado

i= 3.45= 0.034 anual      M= C(1+in)
n= ?                                  n= (M/C -1)/i               n= (2C/C -1)/0.034= (2-1)/0.034= 29.41 años  
M= 2C

18. Cuánto tiempo tarda un prestamista en tener un monto de $5,625 a partir de un capital de  $4,500 si se aplica una tasa de interés simple de 50% exprese el resultado en meses?
Datos                         Fórmula                        Resultado

i= 50%= 0.5 anual      M= C(1+in)
n= ?                            n= (M/C -1)/i               n= (5625/4500 -1)/0.5= 0.5 años= 6 meses  

M= 5,625
C= 4,500
Respuestas:

1. $7500, 2. $18,400 3. 23.78%, 4. $625, 5. $2868.75, 6. $13,562, 7. 115,095, 
8. M=10,486 y I=3,486  

El valor del interés por default es ordinario

I = C i n

Ejemplos:

1. Calcula el interés simple, comercial y tiempo exacto de $22,800 con un interés simple del 8% anual durante el mes de marzo

Datos:

C= 22,800  i= 0.08 anual  n= marzo, exacto = 31 días 
comercial= 360 días

I= Cin = 22,800(0.08)(31/360)= $157.07

2. Calcula el interés simple, comercial y tiempo aproximado de $22,800 con un interés simple del 8% anual durante el mes de marzo

Datos:

C= 22,800  i= 0.08 anual  n= marzo, aproximado = 30 días

 comercial= 360 días

I= Cin = 22,800(0.08)(30/360)= $152

3. Calcula el interés simple, real y tiempo exacto de $22,800 con un interés simple del 8% anual durante el mes de marzo

Datos:

C= 22,800  i= 0.08 anual  n= marzo, exacto = 31, real = 365

I= Cin = 22,800(0.08)(31/365)= $154.92

4. Calcula el interés simple, real  y tiempo aproximado de $22,800 con un interés simple del 8% anual durante el mes de marzo

Datos:

C= 22,800  i= 0.08 anual  n= marzo, aproximado = 30, real= 365

I= Cin = 22,800(0.08)(30/365) $157.07=149.92

EJERCICIOS DE CLASE

1. Calcula el interés simple, real  y tiempo aproximado de $45,200 con un interés simple del 5.6% anual durante el mes de enero

2. Calcula el interés simple, real y tiempo exacto de $45,200 con un interés simple del 5.6% anual durante el mes de enero

3. Calcula el interés simple, comercial y tiempo exacto de $45,200 con un interés simple del 5.6% anual durante el mes de enero

4. Calcula el interés simple, comercial y tiempo aproximado de $45,200 con un interés simple del 5.6% anual durante el mes de enero

Solución 208.4, 214.98, 217.96, 210.93
 

Relación entre el interés comercial u ordinario (Io)  y el interés real o Exacto (Ie)

Ie= 0.9863 Io

Io= 1.0139 Ie

Ejemplos:

1. Calcule el interés ordinario con tiempo exacto de $18,500 con 25% anual prestado durante el mes de septiembre. Calcule el interés exacto conociendo el interés ordinario

Datos:

C=18,500    i= 0.25 anual   Ordinario o comercial = 360 días por año  Tiempo exacto en septiembre=30 días

Fórmula I=Cin

Io=18,500(0.25)(30/360)= $385.42

 Para calcular el interés exacto conociendo el interés ordinario

Ie= 0.9863 Io

Ie= 0.9863 (385.42)=380.14

2. Calcule el interés real que corresponde a $11,016 de interés ordinario

Solución:

Fórmula Ie= 0.9863 Io

Ie= 0.9863 (11016)= $10,865

 

 

Ejercicio de clase

1. Calcule el interés ordinario con tiempo exacto de $12,400 con 12.5% anual prestado durante el mes de octubre. Calcule el interés exacto conociendo el interés ordinario

Io= 133.47  Ie=131.64

TAREA DE PROGRESIONES

Resuelve

1. La suma de los siete primeros términos de una progresión geométrica es  7651 y la razón es 3. Hallar el primero y séptimo término

           Tipo de Progresión     Incógnitas        Datos          Fórmula          Resultado


2. Cuántos términos tiene la progresión 17,21,25,..., 53

            Tipo de Progresión     Incógnitas        Datos          Fórmula          Resultado


3. Un ingeniero es requerido por dos compañías. La compañía X, le ofrece un sueldo inicial de $12,400 al mes y aumentos mensuales de $290 durante 1 año.  La compañía Y, le ofrece un sueldo inicial de $13,500 al mes y aumentos mensuales de $150 durante un año. Desde el punto de vista monetario ¿Cuál compañía le conviene más?

      Tipo de Progresión     Incógnitas        Datos          Fórmula          Resultado


4. La población de cierta ciudad era de 3 millones en 2000. Si la población aumenta 3.5% cada año. ¿Cuál será el tamaño de la población en 2025?
¿En que año se triplicará la población?

     Tipo de Progresión     Incógnitas        Datos          Fórmula          Resultado



5. El cuarto término de una sucesión geométrica es 4 y el séptimo término es 32. Calcule S10

     Tipo de Progresión     Incógnitas        Datos          Fórmula          Resultado




6. Calcule el veinteavo término y la suma de los veinte primeros términos de a sucesión aritmética dada por 44,50,56,...

     Tipo de Progresión     Incógnitas        Datos          Fórmula          Resultado

Solución
1. geométrica  a1=7 a7=5103          2. aritmética n=10        
3. aritmética en X S12= 167,940      en Y S12=171,900 le conviene más Y
4.geométrica a25=3.425739373x10 a la 19    n=1.876 casi 2 años después de 2000, es decir en 2002
5.geométrica r=2, a1=1/2, S10=255.5          6. a20=158    S20=2020

PROGRESIONES GEOMÉTRICAS

En una sucesión geométrica cada término se calcula multiplicando el anterior por un número fijo, llamada razón común.

FÓRMULAS

EJEMPLOS

Ejercicios de Clase

1.Encontrar el noveno término de la sucesión geométrica 48, 192, 768, …	a9=3,145,728
2.Encontrar el valor del sexto término, si la razón es 5 y el primer término es 7	a6=21875
3.Encontrar el valor del sexto término de la progresión geométrica 1.5, (1.5)^4	a6=656.84
4.Encontrar el número de términos de la sucesión 17,34,68,…, 34816	n=12
5.El Corporativo JRF está formado por 10 miniautoservicios y 2 papelerías. El corporativo tiene cinco años de antigüedad, y el año pasado tuvo utilidades de 10 millones de pesos y el primer año de 6.7 millones de pesos. Calcular la tasa de incremento anual de las utilidades partiendo de que el incremento tiene un comportamiento geométrico	r=1.10
6.Décimo quinto término de la sucesión geométrica 7, 14, 28, 56,..	a15=114,688
7.Suma de los doce primeros términos de la sucesión geométrica 3,9,27,81	S12=797,160
8.La suma de los primeros 10 términos y la razón común de una sucesión geométrica son 1536 y 2 respectivamente. Encuentre el primer término	a1=1.50
9.Calcular la suma de los 10 primeros términos de la sucesión geométrica 6,18,54,162	S10=177,144
10.Encontrar el décimo quinto término y la suma de los 17 primeros términos, cuya razón es 2 y el primer término es 18	a15=294,912 S17=2,359,278

TAREA PROGRESIONES ARITMÉTICAS

Resuelve los siguientes ejercicios de Progresiones Aritméticas

1.La suma de los primeros 50 términos de la sucesión aritmética 5,12,19,…
2.Una secretaria ahorra para dar el enganche de un automóvil. La primera semana guarda $80, la segunda $100, la tercera $120, y así sucesivamente durante 52 semanas. ¿Cuánto dinero tendrá al final de las 52 semanas?
3.Un ingeniero es requerido por dos empresas : la empresa X le ofrece un sueldo inicial de $12,400 al mes y aumentos mensuales de $290 durante un año. La empresa Y le ofrece un sueldo inicial de $13,500 al mes e incrementos mensuales de $150 durante un año. Desde el punto de vista monetario. ¿Cuál empresa le conviene más?
4.La contadora González planea comprar una pantalla plana de 32”, para lo cual la primer semana ahorra $549.50; la segunda $1,036.25, la tercera $1,523, la cuarta $2,009.75, y así sucesivamente, durante 12 semanas ¿Cuánto dinero tendrá al final de las 12 semanas?
5.El administrador Miguel Suárez ahorra $3,000 en la primera quincena de enero, y a partir de la siguiente quincena deposita $100 más que la quincena anterior. ¿Cuánto habrá ahorrado cuándo se cumpla la quinta quincena?
6.Encontrar el primer término de una sucesión aritmética cuya suma de 25 términos es 6,200 si el último término es 324

7. El décimo segundo término de una sucesión aritmética es 71 y su diferencia común es 5. Encuentre el primer término
8.¿Cuál es el término número 50 de una sucesión aritmética, cuyo primer término es 0 y la diferencia común 5?
9.¿Cuántos términos tiene la sucesión aritmética -7,-3,…, 29?
10.¿Cuál es el número de términos que forman la sucesión de todos los números pares entre 100 y 800?

11. Suponga que el euro aumenta de precio $0.0271 por día. Si hoy se cotiza en $18.0112 a la venta ¿En cuántos días alcanzará la cotización de $18.5134?
12.En cuántos días las UDIS tendrán un valor de $5.1691249, si estas aumentan su cotización en $0.00114 por día y si hoy tienen un valor de $5.147481?
13.A un vendedor recién contratado se le prometió un salario inicial de 30,000 dólares al año con un aumento de 2000 dólares cada año. Calcule: a)    El salario del vendedor en el quinto año b)    La suma de lo ganado en los 5 años

Soluciones:

1. a50=348, S50= 8,825                  2. a52=1100   S52=613,600              

3. En la empresa X  a12= 15,590  S12= 167,940   En la empresa Y a12=15,150  S12=171,900

conviene la Y

4. d= 486.75, a12=5,903.75   Sn= 38,719.50       5. a5=3400      6. a1=172     7. a1=16
8. a50=245                        9. n=10                       10. n=350             11. n=19.53  
12. n=19.98                      13. a5= 38,000   S5=178,000